也談“幾何直觀”的認(rèn)識及運(yùn)用

2011版《課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出的十個核心概念中，“幾何直觀”是重新修訂時新增出來的重要理念?！墩n標(biāo)》中指出：借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀的理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要的作用。很顯然《課標(biāo)》對“幾何直觀”在教學(xué)中的作用是很重視的，它在整個小學(xué)和初中的學(xué)習(xí)中都發(fā)揮著重要的作用?！墩n標(biāo)》制定組的專家教授對其作了解讀，作為我們一線教師有必要深入的領(lǐng)會“幾何直觀”的內(nèi)涵和重要作用，思考在教學(xué)中如何去運(yùn)用“幾何直觀”。

一、為什么要重視“幾何直觀”

為什么要重視“幾何直觀”呢？數(shù)學(xué)是對客觀現(xiàn)象抽象概括而逐步形成的，它是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，所以數(shù)學(xué)的知識是抽象的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要的是抽象思維和推理能力。而作為小學(xué)生的抽象思維能力還在逐步形成和成長之中，在學(xué)習(xí)和思考問題的時候更多的借助形象思維，借助實(shí)物操作或者具體的圖形、圖像。即使是到了高年級，學(xué)生有了一定的抽象思維能力，對于數(shù)量之間抽象的聯(lián)系，推理過程中間問題的含義，在分析思考過程中，學(xué)生容易迷失或形成錯誤的理解。所以在思考的過程中用直觀形象的圖形、符號把問題表述出來，把思考的過程描述出來，把看不見的抽象思維顯現(xiàn)出來、固化下來，對于學(xué)生進(jìn)一步思考、探索問題的思路、終解決問題都有極大的幫助。

二、“幾何直觀”的內(nèi)涵

《課標(biāo)》中指出“幾何直觀”主要是指利用圖形描述和分析問題。首都師范大學(xué)的劉曉玫教授說：幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對事物的性質(zhì)獲數(shù)量關(guān)系的直接感知。所以“圖形與幾何”領(lǐng)域的數(shù)學(xué)問題運(yùn)用“幾何直觀”，通過畫幾何圖形來分析，是常用，有效的。但筆者認(rèn)為“幾何直觀”作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要思想和思維方法，并不局限于“圖形與幾何”領(lǐng)域，還可以運(yùn)用到“數(shù)與代數(shù)”、“統(tǒng)計(jì)與概率”、“綜合與實(shí)踐”等其他知識領(lǐng)域。所以這里的“圖形”不能局限于幾何圖形，還可以是運(yùn)算符號、圖形、以及方框、箭頭等直觀的符號組合表示的圖示語言，甚至用文字、符號、字母等表示出來的數(shù)量關(guān)系式都可以看成是“圖形直觀”。用這種圖示語言可以簡明直觀地表示出數(shù)量關(guān)系，有助于探索解決問題的思路。

另外值得注意的是“幾何直觀”中所指的“直觀”，不僅僅是直觀的再現(xiàn)問題情境，而應(yīng)該是過濾掉用語言文字描述的問題情境中的凌亂的、情節(jié)性的、非本質(zhì)的信息，它是經(jīng)過概括、提煉后的直觀。它使得問題情境數(shù)學(xué)化，抽象化，具有形象具體又簡單抽象的雙重特點(diǎn)，只有這樣的“直觀”才能凸顯問題中的數(shù)量關(guān)系，有助于探索解決問題的思路。

三、“幾何直觀”在教學(xué)中的運(yùn)用

“幾何直觀”作為一種數(shù)學(xué)思維的方法，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用，在不同年級，解決不同類型的問題中都能發(fā)揮很好的作用。下面結(jié)合幾個教學(xué)中的例子談一談。

1、在低年級時，有些較復(fù)雜的實(shí)際問題用“幾何直觀”的方法來幫助分析題意，學(xué)生才容易理解。比如有這樣一個問題，“媽媽買來一些桃，上午吃了一半，下午又吃了剩下的一半，盤里還剩下3個，媽媽原來買了多少個桃?”。一些學(xué)生對逆向思考的數(shù)量關(guān)系難以理解，教學(xué)時教師可以用正方形畫圖來表示問題意思，幫助學(xué)生理解題意。（如圖）有了這個直觀圖形的支撐，學(xué)生很容易推想原來桃子的個數(shù)，3×2=6個，6×2=12個。

在低年級的教學(xué)中，教師要有意識引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會看懂圖示語言，體會到示意圖的既簡潔又形象，容易找到解決問題的思路的優(yōu)點(diǎn)，讓學(xué)生對圖示語言產(chǎn)生好感和畫圖的愿望，培養(yǎng)“幾何直觀”的意識。

2、圖形問題中運(yùn)用“幾何直觀”尤為有效。比如四年級下冊中幾何圖形面積的計(jì)算中有這樣一個問題。“張莊小學(xué)原來有一個長方形操場，長50米，寬40米。擴(kuò)建校園時，操場的長增加了10米，寬增加了8米。操場的面積增加了多少平方米？”這個問題，不畫示意圖，有些學(xué)生容易理解成為增加的面積是10×8=80平方米。讓學(xué)生畫出示意圖后學(xué)生就理解增加的面積不是一個長方形，而是一個“L”形。要通過分割成幾個長方形來求增加部分的面積。“幾何直觀”的作用是顯而易見的。

3、行程問題中也常用線段圖來分析問題。比較復(fù)雜的行程問題，關(guān)系到兩個物體的運(yùn)動方向和路程，數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，用箭頭、線段來表示行走的方向和路程能直觀形象的表示出路程之間的數(shù)量關(guān)系。比如：一艘貨輪和一艘客輪同時從南京開往武漢。客輪每小時行23千米，貨輪每小時行28千米。經(jīng)過20小時貨輪到達(dá)武漢，客輪距離武漢有多少千米？這個問題，可以讓學(xué)生自己根據(jù)題目的敘述，逐步畫出線段圖，學(xué)生就會理解，要求客輪距武漢有多少千米，就是求貨輪與客輪的路程差。從而列出算式28×20－23×20＝100米，示意圖的作用顯而易見。

4、倒推問題中借助“幾何直觀”來分析也很有效。五年級學(xué)習(xí)用倒推法解決的實(shí)際問題特點(diǎn)很明顯，學(xué)生往往知道要用倒推的策略，但較復(fù)雜的倒推問題在分析時，學(xué)生卻不容易理解其中的數(shù)量關(guān)系，容易導(dǎo)致思路的混淆。所以教會學(xué)生畫倒推示意圖來分析題意尤為重要。比如，“小明原來有一些郵票，今天有收集了24張，送給小軍30張后，還剩52張。小明原來有多少張郵票？”畫出這種方框加箭頭的圖更加容易理解，思路一目了然。

再如，多個數(shù)量一同變化的復(fù)雜倒推實(shí)際問題，畫多行方框加箭頭的示意圖來分析會更有效。比如：有一個書架有上中下三層，共有360本圖書。從上層拿30本到中層，再從中層拿45本到下層，再從下層拿35本到上層后，三層的圖書同樣多。原來三層上各有多少本書？這道題中的有三個數(shù)量，都有兩次變化，比較復(fù)雜。而引導(dǎo)學(xué)生用方框和箭頭示意圖的方法，畫出三層中圖書的變化情況，問題同樣可以一目了然，迎刃而解?？粗@個示意圖，學(xué)生不難列出算式。上層：120－35＋30=115本，中層120＋45－30=135本，下層120＋35－45=110本。

5、運(yùn)用圖形文字表述的數(shù)量關(guān)系式也能幫助學(xué)生直觀的分析問題。比如有這樣一個問題：星期天，小紅去超市買了2支鋼筆和3支圓珠筆共用了31元，小強(qiáng)也買了同樣的2支鋼筆和5支圓珠筆，一共用了41元。你知道每只圓珠筆多少錢，每只鋼筆多少錢？題目中鋼筆和圓珠筆的單價都是未知量，學(xué)生解決起來有些困難。我們可以把題目中的數(shù)量關(guān)系用等量量關(guān)系式并排寫出來，讓學(xué)生觀察兩個等量關(guān)系式的相同和不同，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)兩人的鋼筆數(shù)量相等，小強(qiáng)比小紅多買了2只圓珠筆，小強(qiáng)比小紅多花了10元錢。從而分析出2只圓珠筆是10元錢，所以用（41－31）÷（5－3）＝5元，算出一只圓柱筆5元錢。再根據(jù)等量關(guān)系式倒推出鋼筆的價格，（31－5×3）÷2=8元。這里等量關(guān)系式雖然是抽象的，但寫出這兩個等量關(guān)系式，讓學(xué)生看到，并進(jìn)行比較，學(xué)生能直觀的看到多出的2支圓珠筆和多花的10元錢的對應(yīng)關(guān)系，學(xué)生分析理解起來就顯得更容易了。所以等量關(guān)系式在某種程度上也應(yīng)該看成是直觀的形式，寫出問題中的等量關(guān)系式，在解決問題中也發(fā)揮很大作用。

以上的舉的這些例子中，雖然用的圖形、符號的形式不同，但都很好的體現(xiàn)了“幾何直觀”這種思想方面在解決問題中的運(yùn)用，其實(shí)這樣的例子還有很多，比如分?jǐn)?shù)的實(shí)際問題，長方體、正方體等立體圖形的表面積和體積問題、周期問題、植樹問題等等，我們在解決稍復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時都會自覺運(yùn)用“幾何直觀”的方法來分析?？傊皫缀沃庇^”作為2011版《課程標(biāo)準(zhǔn)》提出來的新增加的核心概念，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的常用的思考問題的方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有非常重要的意義，讓學(xué)生養(yǎng)成用圖形符號語言的直觀方法來分析問題，解決問題的習(xí)慣，有助于提升學(xué)生解決問題的能力，同時還有助于培養(yǎng)學(xué)生的符號意識、模型思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。